Utiliser le théorème de Thalès

Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles forment des triangles dont les longueurs sont proportionnelles. Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur. Sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles. En 3e, on l’utilise dans les triangles emboîtés et dans la configuration « papillon ».

Méthode

1. Repère le point commun aux deux droites sécantes, et vérifie dans l’énoncé que les deux autres droites sont parallèles.
2. Écris les trois rapports, en commençant chaque longueur par le point commun : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
3. Remplace les longueurs connues par leurs valeurs.
4. Garde l’égalité de deux rapports qui contient la longueur cherchée, et fais un produit en croix.
5. Pour la réciproque : calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$, vérifie que les points sont alignés dans le même ordre, puis compare.

Exemple résolu

Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que $A$, $N$, $C$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm et $BC = 6$ cm. On cherche $AN$ et $MN$.

D’après le théorème de Thalès :

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \quad \text{donc} \quad \frac{3}{5} = \frac{AN}{7} = \frac{MN}{6}$$

$AN = \dfrac{3 \times 7}{5} = \dfrac{21}{5} = 4{,}2$ cm et $MN = \dfrac{3 \times 6}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6$ cm.

On vérifie : $MN$, dans le petit triangle, est plus court que $BC$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Les droites $(BD)$ et $(CE)$ se coupent en $A$, et $(BC)$ est parallèle à $(DE)$ (configuration papillon). On donne $AB = 4$ cm, $AD = 6$ cm, $AC = 3$ cm et $BC = 5$ cm. Calculer $AE$ et $DE$.

Corrigé. $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{AE} = \dfrac{5}{DE}$. $AE = \dfrac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$ cm et $DE = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7{,}5$ cm.

Exercice 2

$A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$, $N$, $C$. On donne $AM = 2{,}4$ cm, $AB = 6$ cm, $AN = 3$ cm et $AC = 7{,}5$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Corrigé. $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4$. Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Exercice 3

Même figure avec $AM = 3$ cm, $AB = 8$ cm, $AN = 4$ cm et $AC = 10$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Corrigé. $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$. Les rapports sont différents : si les droites étaient parallèles, ils seraient égaux. Donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Erreurs fréquentes

• Prendre les longueurs dans le désordre. Dans l’exemple, écrire $\dfrac{AM}{MB}$ au lieu de $\dfrac{AM}{AB}$ donne $\dfrac{3}{2}$, puis $MN = 1{,}5 \times 6 = 9$ cm : plus long que $BC$, alors que $[MN]$ est dans le petit triangle.
• Utiliser le théorème sans droites parallèles. Sans parallèles, les rapports n’ont aucune raison d’être égaux : c’est la réciproque qu’il faut utiliser, pour le vérifier.
• Comparer des valeurs arrondies. $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{33}{100}$ s’arrondissent tous deux à 0,33, mais ils sont différents : en produit en croix, $1 \times 100 = 100$ et $3 \times 33 = 99$.
• Oublier l’ordre des points dans la réciproque. Des rapports égaux ne suffisent pas : les points doivent être alignés dans le même ordre sur les deux droites.