Utiliser le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés. Il sert à calculer une longueur. Sa réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle.

Méthode

1. Repère l’angle droit, puis l’hypoténuse : le côté en face de l’angle droit, le plus long des trois.
2. Écris l’égalité avec les lettres de ton triangle : si l’angle droit est en $A$, $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
3. Remplace les longueurs connues par leurs valeurs, élevées au carré.
4. Isole le carré de la longueur cherchée, puis prends sa racine carrée.
5. Pour la réciproque : calcule d’un côté le carré du plus grand côté, de l’autre la somme des carrés des deux autres, puis compare.

Exemple résolu

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. On cherche $BC$.

L’angle droit est en $A$, donc l’hypoténuse est $[BC]$ :

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$BC = \sqrt{100} = 10$ cm. On vérifie : $BC$ est bien plus long que $AB$ et que $AC$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $DF = 13$ cm et $DE = 5$ cm. Calculer $EF$.

Corrigé. L’hypoténuse est $[DF]$. $DF^2 = DE^2 + EF^2$, donc $EF^2 = DF^2 - DE^2 = 169 - 25 = 144$ et $EF = \sqrt{144} = 12$ cm.

Exercice 2

Dans le triangle $RST$, $RS = 7{,}5$ cm, $ST = 10$ cm et $RT = 12{,}5$ cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Corrigé. Le plus grand côté est $[RT]$ : $RT^2 = 12{,}5^2 = 156{,}25$. D’autre part, $RS^2 + ST^2 = 56{,}25 + 100 = 156{,}25$. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $S$, le sommet en face de $[RT]$.

Exercice 3

Un rectangle mesure 3 cm sur 5 cm. Calculer la longueur de sa diagonale, arrondie au millimètre.

Corrigé. La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles, dont elle est l’hypoténuse. $d^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$, donc $d = \sqrt{34} \approx 5{,}8$ cm.

Erreurs fréquentes

• Additionner au lieu de soustraire. Dans l’exercice 1, $DE^2 + DF^2 = 194$ donnerait $EF \approx 13{,}9$ cm : plus long que l’hypoténuse, c’est impossible. Quand on cherche un côté de l’angle droit, on soustrait.
• Additionner les longueurs avant de les élever au carré. $(6 + 8)^2 = 196$, alors que $6^2 + 8^2 = 100$.
• Oublier la racine carrée. $BC^2 = 100$ donne $BC = 10$ cm, pas 100 cm.
• Conclure trop vite avec la réciproque. Pour un triangle de côtés 4 cm, 6 cm et 7 cm : $7^2 = 49$ et $4^2 + 6^2 = 52$. Les résultats sont différents, donc le triangle n’est pas rectangle.