Reconnaître et utiliser une suite arithmétique ou géométrique

Une suite arithmétique avance en ajoutant toujours le même nombre $r$, sa raison. Une suite géométrique avance en multipliant toujours par le même nombre $q$, sa raison. Une fois la suite reconnue, on en déduit son terme général, son sens de variation et la somme de ses termes.

Méthode

1. Pour prouver qu’une suite est arithmétique, montre que $u_{n+1} - u_n$ est une constante $r$ ; pour une suite géométrique, montre que $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$.
2. Terme général, à partir de $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$ (arithmétique), $u_n = u_0 \times q^n$ (géométrique).
3. Sens de variation : arithmétique croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$ ; géométrique de premier terme positif, croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$.
4. Sommes de référence : $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ et, pour $q \neq 1$, $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
5. Pour une somme de termes consécutifs, compte les termes, puis ramène-toi à l’une de ces deux sommes.

Exemple résolu

Une plante mesure 5 cm et grandit de 1,5 cm par semaine. On note $u_n$ sa taille après $n$ semaines : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 1{,}5$.

La suite est arithmétique de raison $r = 1{,}5$, donc $u_n = 5 + 1{,}5n$. Après 10 semaines : $u_{10} = 5 + 15 = 20$ cm. Comme $r > 0$, la suite est croissante.

Un capital de 1 000 € est placé à 3 % par an. On note $v_n$ le capital après $n$ années : $v_{n+1} = 1{,}03 \times v_n$.

La suite est géométrique de raison $q = 1{,}03$, donc $v_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$. Après 5 ans : $v_5 = 1\,000 \times 1{,}03^5 \approx 1\,159{,}27$ €. Comme $v_0 > 0$ et $q > 1$, la suite est croissante.

Exercices corrigés

Exercice 1

On pose $u_0 = 7$ et $u_{n+1} = u_n - 2$. Donner la nature de la suite, $u_n$ en fonction de $n$, puis $u_{20}$ et le sens de variation.

Corrigé. $u_{n+1} - u_n = -2$ pour tout $n$ : la suite est arithmétique de raison $-2$. $u_n = 7 - 2n$, donc $u_{20} = 7 - 40 = -33$. Comme $r < 0$, la suite est décroissante.

Exercice 2

On pose $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = 2 v_n$. Calculer $v_6$, puis $S = v_0 + v_1 + \dots + v_6$.

Corrigé. Suite géométrique de raison 2 : $v_n = 3 \times 2^n$ et $v_6 = 3 \times 64 = 192$. $S = 3(1 + 2 + \dots + 2^6) = 3 \times \dfrac{1 - 2^7}{1 - 2} = 3 \times 127 = 381$. On peut vérifier : $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381$.

Exercice 3

On pose $u_n = 4 + 3n$. Calculer $S = u_0 + u_1 + \dots + u_9$.

Corrigé. De $u_0$ à $u_9$, il y a 10 termes. $S = 10 \times 4 + 3(0 + 1 + \dots + 9) = 40 + 3 \times \dfrac{9 \times 10}{2} = 40 + 135 = 175$.

Erreurs fréquentes

• Se tromper d’indice de départ. Si le premier terme est $u_1 = 5$ (et non $u_0$), alors $u_n = u_1 + (n - 1)r$ : avec $r = 1{,}5$, $u_{10} = 5 + 9 \times 1{,}5 = 18{,}5$, pas 20.
• Mal compter les termes. De $u_0$ à $u_9$, il y a 10 termes, pas 9.
• Confondre une hausse de 3 % avec un ajout de 3. Une hausse de 3 % donne $v_{n+1} = 1{,}03 \times v_n$, ni $v_n + 3$, ni $0{,}03 \times v_n$.
• Oublier le $+1$ de l’exposant. $1 + 2 + \dots + 2^6 = 2^7 - 1 = 127$, pas $2^6 - 1 = 63$.