Résoudre une équation du second degré avec le discriminant

Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$) ou pour connaître le signe de $ax^2 + bx + c$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Son signe dit combien il y a de solutions.

Méthode

1. Écris l’équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$ et repère $a$, $b$ et $c$, chacun avec son signe.
2. Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Si $\Delta > 0$, deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, une seule, $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.
4. Pour le signe : $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$, sauf entre les deux racines quand il y en a deux.
5. Vérifie tes racines : leur somme vaut $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$.

Exemple résolu

On résout $2x^2 - 3x - 2 = 0$, puis on étudie le signe de $2x^2 - 3x - 2$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$$

$\Delta > 0$ et $\sqrt{\Delta} = 5$ : $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$.

Vérification : $x_1 + x_2 = \dfrac{3}{2} = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = -1 = \dfrac{c}{a}$.

Signe : $a = 2$ est positif, donc $2x^2 - 3x - 2$ est positif pour $x < -\tfrac{1}{2}$ ou $x > 2$, et négatif entre $-\tfrac{1}{2}$ et 2. Contrôle en $x = 0$ : on trouve $-2$, négatif.

Exercices corrigés

Exercice 1

Résoudre $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Corrigé. $\Delta = 36 - 4 \times 1 \times 9 = 0$ : une seule solution, $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$. En effet, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Exercice 2

Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$, puis donner le signe de $x^2 + x + 1$.

Corrigé. $\Delta = 1 - 4 \times 1 \times 1 = -3$ : $\Delta < 0$, l’équation n’a pas de solution réelle. Le trinôme garde le signe de $a = 1$ : il est positif pour tout réel $x$.

Exercice 3

Étudier le signe de $-x^2 + 2x + 3$.

Corrigé. $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$. $\Delta = 4 - 4 \times (-1) \times 3 = 16$ et $\sqrt{\Delta} = 4$. $x_1 = \dfrac{-2 - 4}{-2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-2 + 4}{-2} = -1$. Vérification : somme 2 $= -\dfrac{b}{a}$, produit $-3 = \dfrac{c}{a}$. $a$ est négatif : $-x^2 + 2x + 3$ est négatif pour $x < -1$ ou $x > 3$, et positif entre $-1$ et 3. Contrôle en $x = 0$ : on trouve 3, positif.

Erreurs fréquentes

• Le carré d’un nombre négatif. Avec $b = -3$, $b^2 = (-3)^2 = 9$. Sur la calculatrice, $-3^2$ sans parenthèses donne $-9$.
• Perdre le signe de $c$. Dans l’exemple, oublier que $c = -2$ donne $\Delta = 9 - 16 = -7$, et on conclut à tort qu’il n’y a pas de solution.
• Ne diviser que la racine par $2a$. $3 + \dfrac{5}{4} = 4{,}25$ n’est pas une solution : c’est tout le numérateur, $-b + \sqrt{\Delta}$, qui se divise par $2a$.
• Dire que le trinôme a toujours le signe de $a$. Entre les racines, c’est l’inverse : $2x^2 - 3x - 2$ vaut $-2$ en $x = 0$, alors que $a$ est positif.