Travailler avec une fonction affine

Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$. Sa représentation graphique est une droite : $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Quand $b = 0$, la fonction est linéaire et traduit une situation de proportionnalité.

Méthode

1. Repère $a$, le nombre qui multiplie $x$, et $b$, le nombre seul, chacun avec son signe.
2. Pour calculer l’image d’un nombre, remplace $x$ par ce nombre dans l’expression.
3. Pour trouver un antécédent de $k$, résous l’équation $ax + b = k$.
4. Pour tracer la droite, calcule deux images, place les deux points, puis relie-les.
5. Pour lire la droite : elle coupe l’axe des ordonnées en $b$, elle monte si $a > 0$, descend si $a < 0$, et quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ change de $a$.

Exemple résolu

On prend $f(x) = 2x - 3$, donc $a = 2$ et $b = -3$.

Image de 4 : $f(4) = 2 \times 4 - 3 = 5$.

Antécédent de 7 : on résout $2x - 3 = 7$, soit $2x = 10$, donc $x = 5$. On vérifie : $f(5) = 10 - 3 = 7$.

Tracé : $f(0) = -3$ et $f(4) = 5$, on place les points $(0 \,;\, -3)$ et $(4 \,;\, 5)$. La droite monte, car $a = 2$ est positif, et coupe l’axe des ordonnées en $-3$.

Exercices corrigés

Exercice 1

On donne $g(x) = -3x - 4$. Calculer l’image de $-2$, puis l’antécédent de 10.

Corrigé. $g(-2) = -3 \times (-2) - 4 = 6 - 4 = 2$. Antécédent de 10 : $-3x - 4 = 10$, soit $-3x = 14$, donc $x = -\dfrac{14}{3} \approx -4{,}67$.

Exercice 2

Un mobile avance à 5 m/s. La distance parcourue, en mètres, en $x$ secondes est $d(x) = 5x$. Quelle distance en 12 s ? Combien de temps pour parcourir 150 m ?

Corrigé. $d(12) = 5 \times 12 = 60$ m. Pour 150 m : $5x = 150$, donc $x = 30$ s. $d$ est linéaire ($b = 0$) : la distance est proportionnelle au temps.

Exercice 3

La droite qui représente une fonction affine $h$ passe par les points $(0 \,;\, 1)$ et $(1 \,;\, -1)$. Trouver l’expression de $h$, puis calculer $h(3)$.

Corrigé. La droite coupe l’axe des ordonnées en 1, donc $b = 1$. Quand $x$ passe de 0 à 1, $h(x)$ passe de 1 à $-1$ : il diminue de 2, donc $a = -2$. $h(x) = -2x + 1$ et $h(3) = -6 + 1 = -5$.

Erreurs fréquentes

• Confondre image et antécédent. Avec $f(x) = 2x - 3$, l’image de 7 est $f(7) = 11$, mais l’antécédent de 7 est 5.
• Perdre le signe de $b$. Pour $f(x) = 2x - 3$, $b = -3$ : la droite coupe l’axe des ordonnées en $-3$, pas en 3.
• Mal calculer avec un nombre négatif. $g(-2) = -3 \times (-2) - 4 = 2$, et non $-6 - 4 = -10$ : moins par moins donne plus.
• Croire qu’une fonction affine traduit la proportionnalité. Avec $f(x) = 2x - 3$, $f(1) = -1$ et $f(2) = 1$ : doubler $x$ ne double pas $f(x)$. Seules les fonctions linéaires sont proportionnelles.