Résoudre une équation produit

Une équation produit s’écrit $(ax + b)(cx + d) = 0$. Elle se résout avec une seule propriété : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Elle donne en général deux solutions, et les équations comme $x^2 = 49$ s’y ramènent.

Méthode

1. Mets l’équation sous la forme « produit $= 0$ » : tout d’un côté, 0 de l’autre.
2. Si ce n’est pas encore un produit, factorise : facteur commun, ou $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
3. Écris la propriété : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
4. Résous séparément chaque équation du premier degré.
5. Donne toutes les solutions, puis vérifie-les dans l’équation de départ.

Exemple résolu

On résout $(3x + 6)(x - 9) = 0$.

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

$3x + 6 = 0$, soit $3x = -6$, donc $x = -2$ ; ou $x - 9 = 0$, donc $x = 9$.

Les solutions sont $-2$ et $9$. On vérifie : pour $x = -2$, le premier facteur vaut $-6 + 6 = 0$ ; pour $x = 9$, le second vaut $9 - 9 = 0$.

Exercices corrigés

Exercice 1

Résoudre $(4x - 1)(2x + 7) = 0$.

Corrigé. $4x - 1 = 0$ donne $x = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ ; $2x + 7 = 0$ donne $x = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5$. Les solutions sont $0{,}25$ et $-3{,}5$.

Exercice 2

Résoudre $x^2 = 5x$.

Corrigé. On met tout du même côté : $x^2 - 5x = 0$. On factorise par $x$ : $x(x - 5) = 0$. Donc $x = 0$ ou $x - 5 = 0$, soit $x = 5$. Les solutions sont 0 et 5. Vérification : $0^2 = 5 \times 0$ et $5^2 = 25 = 5 \times 5$.

Exercice 3

Résoudre $x^2 - 49 = 0$.

Corrigé. $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$, donc $(x - 7)(x + 7) = 0$. $x - 7 = 0$ donne $x = 7$ ; $x + 7 = 0$ donne $x = -7$. Les solutions sont 7 et $-7$.

Erreurs fréquentes

• Diviser par $x$. Dans $x^2 = 5x$, diviser par $x$ donne $x = 5$ et fait perdre la solution $x = 0$.
• Oublier une solution. $x^2 = 49$ a deux solutions, 7 et $-7$ : $(-7)^2 = 49$ aussi.
• Appliquer la propriété quand le produit ne vaut pas 0. $(x - 1)(x + 2) = 4$ ne donne pas « $x - 1 = 4$ ou $x + 2 = 4$ » : avec $x = 5$, $(5 - 1)(5 + 2) = 4 \times 7 = 28$, pas 4.
• Se tromper de signe dans la solution. $x + 7 = 0$ donne $x = -7$, pas $x = 7$.