Dériver un produit de fonctions

Une fonction écrite comme un produit, par exemple $f(x) = (2x + 1)\,\mathrm{e}^x$, ne se dérive pas facteur par facteur. Il faut la formule du produit, au programme de spécialité de première, et elle sert encore en terminale.

Méthode

1. Repère les deux facteurs : $f(x) = u(x) \times v(x)$.
2. Dérive chacun d’eux : $u'(x)$ et $v'(x)$.
3. Applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
4. Remplace, puis développe ou simplifie.
5. Pour étudier le signe, factorise (souvent par $\mathrm{e}^x$ ou par $x$).

Exemple résolu

On veut les variations de $f(x) = (2x + 1)\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \mathrm{e}^x$. Donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = \mathrm{e}^x$.

$$f'(x) = 2\,\mathrm{e}^x + (2x + 1)\,\mathrm{e}^x = (2x + 3)\,\mathrm{e}^x$$

Comme $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x$, $f'(x)$ a le signe de $2x + 3$ : négatif pour $x < -\tfrac{3}{2}$, positif pour $x > -\tfrac{3}{2}$.

Donc $f$ est décroissante sur $\left]-\infty \,;\, -\tfrac{3}{2}\right]$ et croissante sur $\left[-\tfrac{3}{2} \,;\, +\infty\right[$.

Pour vérifier un calcul de dérivée, tu peux approcher le nombre dérivé par un taux de variation avec un petit $h$ :

from math import exp

def f(x):
    return (2 * x + 1) * exp(x)

def f_prime(x):
    return (2 * x + 3) * exp(x)

a, h = 1, 0.0001
print((f(a + h) - f(a)) / h)
print(f_prime(a))

Ce que le programme affiche :

13.592360581711205
13.591409142295225

Les deux valeurs sont proches de 13,59 : le calcul de $f'(1) = 5\,\mathrm{e}$ est confirmé.

Exercices corrigés

Exercice 1

Dériver $f(x) = x^2(3x - 1)$.

Corrigé. $u = x^2$, $u' = 2x$ ; $v = 3x - 1$, $v' = 3$. $f'(x) = 2x(3x - 1) + 3x^2 = 6x^2 - 2x + 3x^2 = 9x^2 - 2x$. Vérification : $f(x) = 3x^3 - x^2$, donc $f'(x) = 9x^2 - 2x$.

Exercice 2

Dériver $h(x) = x\,\mathrm{e}^x$ et donner le signe de $h'(x)$.

Corrigé. $u = x$, $u' = 1$ ; $v = \mathrm{e}^x$, $v' = \mathrm{e}^x$. $h'(x) = \mathrm{e}^x + x\,\mathrm{e}^x = (x + 1)\,\mathrm{e}^x$. $h'(x)$ est négatif pour $x < -1$, positif pour $x > -1$.

Exercice 3

Dériver $g(x) = x\sqrt{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.

Corrigé. $u = x$, $u' = 1$ ; $v = \sqrt{x}$, $v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. $g'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$.

Exercice 4

Dériver $k(x) = (x^2 + 1)(1 - x)$.

Corrigé. $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ ; $v = 1 - x$, $v' = -1$. $k'(x) = 2x(1 - x) - (x^2 + 1) = 2x - 2x^2 - x^2 - 1 = -3x^2 + 2x - 1$.

Erreurs fréquentes

• Multiplier les dérivées. $(uv)' = u'v'$ est faux. Avec $u = v = x$ : $u'v' = 1$, alors que la dérivée de $x^2$ est $2x$.
• Oublier un des deux termes. Il y en a toujours deux : $u'v$ et $uv'$.
• La dérivée de $\sqrt{x}$. C’est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, pas $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
• Développer avant d’étudier le signe. Avec une exponentielle, on factorise par $\mathrm{e}^x$ : son signe est connu, il reste un polynôme simple.